(SOAL, JAWABAN, DAN PENJELASAN)
Bismillahirrahmanirrahim – saya mulai menulis blog matematika ini dengan berdo’a kepada Allah semoga apa yang bisa saya tulis ini bisa memberi manfaat untuk orang banyak.
Kali ini saya akan memberikan ulasan soal dari tes tengah semester di suatu instansi pendidikan.
Simak dan focus ya…
Soal :
1. Suku ke 20 dari barisan aritmatika 4, 7, 10, 13, … adalah…
Jawabannya = 61
Penjelasan
- Untuk mengetahui suku ke 20, maka tugas utama kita adalah mencari rumus suku ke n nya. Dan untuk mengetahui rumusnya kita juga harus terlebih dahulu mengetahui nilai suku pertama (a) dan beda (b).
Nilai a = 4
Nilai b = 7 – 4 = 3
Un = a + (n-1) . b
= 4 + (n-1) . 3
= 4 + 3n – 3
= 3n + 1
Dari sini sudah diketahui bahwa rumus umum suku ke n adalah Un = 3n + 1. Dan suku ke 20 nya adalah :
U20 = 3.20 + 1
= 60 + 1
= 61 (Jawabannya 61)
2. Suku yang ke 10 barisan aritmatika 3, 1, -1, -3, … adalah…
Jawabannya = -15
Penjelasan
- Untuk mengetahui suku ke 10, maka tugas utama kita adalah mencari rumus suku ke n, mencari nilai suku pertama (a) dan beda (b). baru bisa digunakan untuk mengetahui suku ke 10.
Nilai a = 3
Nilai b = 1 – 3 = -2
Un = a + (n-1) . b
= 3 + (n-1) . -2
= 3 + (-2n + 2)
= 3 -2n + 2
= -2n + 5
Dari sini sudah diketahui bahwa rumus umum suku ke n adalah Un = -2n + 5. Dan suku ke 10 nya adalah :
U10 = -2.10 + 5
= -20 + 5
= -15 (Jawabannya)
3. Suku ke 4 suaatu barisan aritmatika adalah 56, sedangkan suku ke 9 sama dengan 26. Beda barisan tersebut adalah…
Jawabannya = -6
Penjelasan
- Dalam kate
Mencari nilai a dan b
Gunakan dari suku yang sudah diketahui, yaitu U4 dan U9
Un = a + (n-1) . b
U4 = a + (4-1) . b
= a + (3) . b
56 = a + 3b --------(1)
U9 = a + (n-1) . b
= a + (9-1) . b
= a + (8) . b
26 = a + 8b --------(2)
Gunakan metode eliminasi dari hasil persamaan 1 dan 2
a + 3b = 56
a + 8b = 26 _
-5b = 30
b = -6
Maka beda dari soal barisan aritmatika tersebut adalah -6.
4. Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku ke 5 adalah 22 dan suku ke 12 adalah 57. Suku ke 15 barisan ini adalah…
Jawabannya = 72
Penjelasan
- Untuk mengetahui suku ke 15, maka tugas utama kita adalah mencari nilai suku pertama (a), beda (b), dan rumus suku ke n. baru bisa digunakan untuk mengetahui nilai suku ke 15.
Mencari nilai a dan b
Gunakan dari suku yang sudah diketahui, yaitu U5 dan U12
Un = a + (n-1) . b
U5 = a + (5-1) . b
= a + (4) . b
22 = a + 4b --------(1)
U12 = a + (n-1) . b
= a + (12-1) . b
= a + (11) . b
57 = a + 11b --------(2)
Gunakan metode eliminasi dari hasil persamaan 1 dan 2
a + 4b = 22
a + 11b = 57 _
-7b = -35
b = 5
Setelah b diketahui bernilai 5, masukan ke salah satu persamaan (boleh ke persamaan 1 atau 2).
a + 4b = 22
a + 4.5 = 22
a = 22-20
a = 2
Mengetahui rumus umum suku ke n dan rumus jumlah deret aritmatika.
Un = a + (n-1) . b
= 2 + (n-1) . 5
= 2 + 5n – 5
= 5n – 3
Maka suku ke 15 adalah
U15 = 5.15 – 3
= 75 – 3
= 72 (Jawabannya)
5. Diketahui deret aritmatika dengan suku ke 3 adalah 3 dan suku ke 8 adalah 23. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah…
Jawabannya = 660
Penjelasan
- Untuk mengetahui jumlah 20 suku pertama, maka tugas utama kita adalah mencari nilai suku pertama (a), beda (b), dan rumus suku ke n. baru bisa digunakan untuk mengetahui jumlah 20 deret dengan rumus Sn = n/2 . (a + Un) atay Sn = (2a + (n-1) . b).
Mencari nilai a dan b
Gunakan dari suku yang sudah diketahui, yaitu U3 dan U8
Un = a + (n-1) . b
U3 = a + (3-1) . b
= a + (2) . b
3 = a + 2b --------(1)
U8 = a + (n-1) . b
= a + (8-1) . b
= a + (7) . b
23 = a + 7b --------(2)
Gunakan metode eliminasi dari hasil persamaan 1 dan 2
a + 2b = 3
a + 7b = 23 _
-5b = -20
b = 4
Setelah b diketahui bernilai 4, masukan ke salah satu persamaan (boleh ke persamaan 1 atau 2).
a + 2b = 3
a + 8 = 3
a = 3-8
a = -5
Mengetahui rumus umum suku ke n dan rumus jumlah deret aritmatika.
Un = a + (n-1) . b
= -5 + (n-1) . 4
= -5 + 4n – 4
= 4n - 9
Sn = n/2 . (a + Un)
= n/2 . (a + 4n - 9)
S20 = 20/2 . (-5 + 4.20 - 9)
= 10 . (66)
= 660 (Jawabannya)
6. Diketahui suku ke 4 suatu deret aritmatika adalah 42 dan suku ke 9 adalah 62. Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah…
Jawabannya = 870
Penjelasan
- Untuk mengetahui jumlah 15 suku pertama, maka tugas utama kita adalah mencari nilai suku pertama (a), beda (b), dan rumus suku ke n. baru bisa digunakan untuk mengetahui jumlah 15 deret dengan rumus Sn = n/2 . (a + Un) atay Sn = (2a + (n-1) . b).
Mencari nilai a dan b
Gunakan dari suku yang sudah diketahui, yaitu U4 dan U9
Un = a + (n-1) . b
U4 = a + (4-1) . b
= a + (3) . b
42 = a + 3b --------(1)
U9 = a + (n-1) . b
= a + (9-1) . b
= a + (8) . b
62 = a + 8b --------(2)
Gunakan metode eliminasi dari hasil persamaan 1 dan 2
a + 3b = 42
a + 8b = 62 _
-5b = -20
b = 4
Setelah b diketahui bernilai 4, masukan ke salah satu persamaan (boleh ke persamaan 1 atau 2).
a + 3b = 42
a + 3.4 = 42
a = 42-12
a = 30
Mengetahui rumus umum suku ke n dan rumus jumlah deret aritmatika.
Un = a + (n-1) . b
= 30 + (n-1) . 4
= 30 + 4n – 4
= 4n + 26
Sn = n/2 . (a + Un)
= n/2 . (a + 4n + 26)
S15 = 15/2 . (30 + 4.15 + 26)
= 15/2 . (116)
= 870 (Jawabannya)
7. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 14 m, setiap kali memantul tinggi pantulannya 2/3 dari tinggi sebelumnya. Panjang lintasan sampai bola berhenti adalah…
Jawabannya =
Penjelasan
- Karena bola dijatuhkan dan memantul hingga berhenti, maka ini termasuk deret geometri tak hingga. Adapun untuk mencari panjang lintasan bolanya adalah sebagai berikut :
Panjang Lintasan = tinggi awal bola dijatuhkan + 2(kali deret tak hingga)
Suku pertama dalam deret ini adalah pantulan pertama bukan ketinggian bola pas dijatuhkan. Sehingga nilai a adalah :
Suku pertama = 14 x 2/3 = 28 / 3 m
S00 = a / 1- r
= (28/3) / (1-2/3)
= (28/3) / (3/3 – 2/3)
= 28/3 : 1/3
= 28/3 x 3
= 28
Dan panjang lintasan = 14 + 2 (28)
= 70 (Jawabannya)
8. Diketahui barisan 5, 7, 9, 11, 13, … rumus suku ke n barisan tersebut adalah…
Jawabannya = 2n + 3
Penjelasan
- Dalam soal ini kita hanya mencari nilai suku pertama (a), beda (b), baru bisa mengetahui rumus suku ke n.
- Dari barisan tersebut didapat :
a = 5
b = 7-5 = 2
Mengetahui rumus umum suku ke n dan rumus jumlah deret aritmatika.
Un = a + (n-1) . b
= 5 + (n-1) . 2
= 5 + 2n – 2
= 2n + 3 (Jawabannya)
9. Diketahui barisan 24 + 12 + 6 + 3 + … jumlah tak hingganya adalah
Jawabannya =
Penjelasan
- Untuk mengetahui jumlah tak hingga, maka tugas kita utama adalah hafal ketentuan nilai r dan rumus jumlah tak hingganya.
Deret geometri tak hingga terdiri atas dua bentuk.
1) Deret geometri konvergen (memusat)
Jika -1 < r < 1 maka S00 = a / 1 - r
2) Deret geometri divergen (memancar)
Jika r ≤ -1 atau r ≥ 1 maka S00 = ±00
- Dan nilai r dari barisan tersebut adalah r = 12 / 24 = ½ (diantara -1 dan 1), sehingga rumus tak hingganya adalah :
S00 = a / 1-r
= 24 / 1- ½
= 24 / ½
= 24 x 2
= 48 (Jawabannya)
10. Jumlah 20 suku pertama barisan 4, 7, 10, 13, … adalah…
Jawabannya = 650
Penjelasan
- Untuk mengetahui jumlah 20 suku pertama, maka tugas utama kita adalah mencari nilai suku pertama (a), beda (b), dan rumus suku ke n. baru bisa digunakan untuk mengetahui jumlah 20 deret dengan rumus Sn = n/2 . (a + Un) atay Sn = (2a + (n-1) . b).
Mencari nilai a dan b
Dari barisan di atas secara mudah bisa diketahui bahwa :
a = 4
b = 7- 4 = 3
Kemudian mengetahui rumus umum suku ke n dan rumus jumlah deret aritmatika.
Un = a + (n-1) . b
= 4 + (n-1) . 3
= 4 + 3n – 3
= 3n + 1
Sn = n/2 . (a + Un)
= n/2 . (a + 3n + 1)
S20 = 20/2 . (4 + 3.20 + 1)
= 10 . (65)
= 650 (Jawabannya)
11. Suku ke 8 barisan 3, 6, 12, 24, … adalah…
Jawabannya = 384
Penjelasan
- Perlu diperhatikan bahwa terlebih dahulu kita ketahui apakah soal itu barisan aritmatika atau barisan geometri. Jika selisih dari pengurangan suku kedua dengan suku kesatu adalah sama dengan selisih suku ketiga dengan suku kedua, maka itu barisan deret aritmatika. Jika barisan geometri, maka nilai tetap yang diperoleh dari suku sebelum dan suku sesudahnya adalah dengan pembagian yang disini disebut dengan rasio. Maka dari soal di atas termasuk kategori barisan geometri karena suku kedua dengan suku pertama mempunyai rasio 2 dan rasio ini sama ketika digunakan untuk suku ketiga dengan suku kedua.
- Untuk mengetahui suku ke 8, maka tugas utama kita adalah mencari rumus suku ke n, mencari nilai suku pertama (a) dan rasio (b). baru bisa digunakan untuk mengetahui suku ke 8.
Mencari nilai a dan r
Dari barisan di atas secara mudah bisa diketahui bahwa :
a = 3
b = 6 / 3 = 2
Kemudian mengetahui rumus umum suku ke n dan rumus jumlah deret geometri.
Un = arn-1
= 3 . 2n-1
Maka U8 = 3 . 28-1
= 3 . 27
= 3 . 128
= 384 (Jawabannya)
12. Seorang ayah akan membagikan 78 ekor sapi kepada keenam anaknya yang banyaknya setiap bagian mengikuti barisan aritmatika. Anak termuda mendapat bagian paling sedikit, yaitu 3 ekor dan anak tertua mendapat bagian terbanyak. Anak ketiga mendapat bagian sebanyak … ekor.
Jawabannya = 11
Penjelasan
- Untuk menyelesaikan soal seperti ini, maka tugas pertama kita adalah menjabarkannya ke dalam kerangka soal seperti biasa, yaitu :
78 ekor sapi adalah jumlah total sapi dan 6 anak adalah jumlah suku
Jenis bilangan aritmatika
Anak termuda berarti suku pertama (a) dan bernilai 3
Anak tertua berarti suku keenam
a = 3
n = 6
S6 = 78
- Karena pertanyaannya tentang suku ketiga (U3), maka kita harus mengetahui nilai beda atau b, yaitu dengan menggunakan rumus jumlah suku:
Rumus Jumlah
Sn = n/2 . (a + Un) atau
Sn = n/2 . (2a + (n-1).b)
Maka,
S6 = 6/2 . (2.3 + (6-1).b)
78 = 3 . (6 + 5b)
78/3 = 6 + 5b
26 = 6 + 5b
26-6 = 5b
20 = 5b
b = 4
Sehingga rumus umum suku ke n adalah :
Un = a + (n-1).b
= 3 + (n-1).4
= 3 + 4n – 4
= 4n – 1
U3 = 4.3 – 1
= 11 (Jawabannya)
13. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmatika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh . jika banyak permen yang diperoleh anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah … buah.
Jawabannya = 75
Penjelasan
- Untuk menyelesaikan soal seperti ini, maka tugas pertama kita adalah menjabarkannya ke dalam kerangka soal seperti biasa, yaitu :
5 orang anak berarti jumlah suku barisan itu ada 5 / n = 5
Usia muda = suku pertama / a
Banyak permen anak kedua adalah 11 berarti U2 = 11
Banyak permen anak keempat adalah 19 berarti U4 = 19
a, 11, … , 19, …
- Selanjutnya karena pertanyaanny tentang jumlah seluruh permen berarti tugas kita adalah mengetahui nilai suku pertama (a), beda (b), rumus umum suku ke n, dan baru rumus jumlah deret aritmatika.
Mencari nilai a dan b
Gunakan dari suku yang sudah diketahui, yaitu U2 dan U4
Un = a + (n-1) . b
U2 = a + (2-1) . b
= a + (1) . b
11 = a + b --------(1)
U4 = a + (n-1) . b
= a + (4-1) . b
= a + (3) . b
19 = a + 3b --------(2)
Gunakan metode eliminasi dari hasil persamaan 1 dan 2
a + b = 11
a + 3b = 19 _
-2b = -8
b = 4
Setelah b diketahui bernilai 4, masukan ke salah satu persamaan (boleh ke persamaan 1 atau 2).
a + b = 11
a + 4 = 11
a = 11-4
a = 7
Mengetahui rumus umum suku ke n dan rumus jumlah deret aritmatika.
Un = a + (n-1) . b
= 7 + (n-1) . 4
= 7 + 4n – 4
= 4n + 3
Sn = n/2 . (a + Un)
= n/2 . (a + 4n + 3)
S5 = 5/2 . (7 + 4.5 + 3)
= 5/2 . (30)
= 75 (Jawabannya)
Terima kasih atas ilmunya mas ehsan.
Sama-sama mas kohar. Terima kasih sdah berkunjung
Sama-sama mas kohar. Terima kasih sdah berkunjung
Sama-sama mas kohar. Terima kasih sdah berkunjung
maaf kak cara nya kepanjangan....
pakai aja cara ini untuk no 3.
U4 = 56
U9 = 26. Ditanya beda..??
caranya cepat:
26 - 56 =( 9-4)x b
-30 =5b
beda = -6
Terima kasih atas mauskanya.